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CSP-J
CURRICULUM
课程大纲 · 能力地图
按「大类 → 难度 → 前后顺序」组织，共 368 个能力标签。 同一大类内循序渐进，绿色为已备教案、可直接进入学习；灰色为编写中。
程序设计基础
37 个标签 · 31 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 1 | 顺序结构01-A1-1 | 能按“先做 A、再做 B、最后 C”的顺序写出步骤，并理解顺序改变可能改变结果。 | |
| 2 | 变量01-A1-2 | 能声明变量、赋值并在程序中修改它的值。 | |
| 3 | 常量01-A1-3 | 能区分“会变的值”和“永远不变的值”，并用常量表达固定数字。 | |
| 4 | 基本数据类型01-A1-4 | 能区分整数、小数、文字三种最基本的数据类型。 | |
| 5 | 算术运算01-A1-5 | 能正确使用 + - * / 和取模 % 进行计算，并理解“先乘除后加减”的优先级。 | |
| 6 | 关系运算01-A1-6 | 能使用 > < >= <= == != 比较大小，得到“真 / 假”。 | |
| 7 | 逻辑运算01-A1-7 | 能使用 and / or / not 把多个条件组合起来。 | |
| 8 | 输入输出01-A1-8 | 能使用 input 接收用户输入，并用 print/cout 输出结果。 | |
| 9 | 条件判断01-A1-9 | 能理解“如果…就…否则…”的决策逻辑。 | |
| 10 | if / else01-A1-10 | 能写出 if / else 让程序做选择。 | |
| 11 | switch01-A1-11 | 能理解“多分支选择”——根据一个值选多种情况之一。 | |
| 12 | for01-A1-12 | 能使用 for 循环把一件事重复做 N 次。 | |
| 13 | while01-A1-13 | 能使用 while 在条件满足时不断重复。 | |
| 14 | do while01-A1-14 | 能理解“先做一次，再判断要不要继续”的循环。 | |
| 15 | break01-A1-15 | 能使用 break 立即跳出循环。 | |
| 16 | continue01-A1-16 | 能使用 continue 跳过本次、进入下一次循环。 | |
| 17 | 基础调试01-A1-17 | 能看懂报错信息，定位并修正常见错误。 | |
| 18 | 嵌套循环01-A2-1 | 掌握"嵌套循环"：在循环中再套循环，用来扫描二维结构（矩阵、棋盘）或枚举组合。 | |
| 19 | 嵌套分支01-A2-2 | 掌握"嵌套分支"：在 if 内部再写 if/else，处理多维条件，并理解 else 与哪个 if 配对。 | |
| 20 | 多条件逻辑01-A2-3 | 掌握用 and/or/not（C++ 的 &&/||/!）组合多个布尔条件，正确写出复合判断，并理解短路求值。 | |
| 21 | 类型转换01-A2-4 | 理解隐式/显式类型转换，分清整数除法与浮点除法，避免取整与精度错误。 | |
| 22 | long long01-A2-5 | 知道 int 范围有限，大数用 long long（C++ 64 位整数）避免溢出。 | |
| 23 | 浮点数基础01-A2-6 | 理解浮点数的二进制近似表示与精度坑（相等比较、累积误差），会用 EPS 比较。 | |
| 24 | 字符与 ASCII01-A2-7 | 理解字符在计算机中以 ASCII 码存储，掌握字符与整数的互换及常用字符区间。 | |
| 25 | 函数01-A2-8 | 能把一段功能封装成函数，理解定义、调用、返回值，实现"一次编写、多处复用"。 | |
| 26 | 参数传递01-A2-9 | 理解 C++ 的"值传递"——函数收到的是实参的副本，修改形参不影响外部；并知道如何把结果交回。 | |
| 27 | 引用01-A2-10 | 理解 C++ 引用（变量的别名），用引用参数让函数修改外部变量或避免大对象拷贝。 | |
| 28 | 作用域01-A2-11 | 理解变量作用域（局部/全局）与可见性，避免命名冲突与"未定义"错误。 | |
| 29 | 递归基础01-A2-12 | 理解"函数调用自身"的递归思想：把大问题拆成相同的小问题，并写出正确的终止条件。 | |
| 30 | 结构体01-A2-13 | 能把多个不同类型的数据组合成一个"结构体"类型，管理一组相关属性。 | |
| 31 | 自定义数据类型01-A2-14 | 理解 typedef/using 与枚举 enum，给已有类型起别名、定义有限取值集合，提升可读性。 | |
| 32 | 指针基础01-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 33 | 函数指针基础01-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 34 | 递归建模01-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 35 | 模块化程序设计01-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 36 | 程序状态管理01-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 37 | 复杂代码调试01-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
复杂度与算法分析
15 个标签 · 15 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 43 | 什么是算法02-A1-1 | 理解“算法”的定义与基本特征，能区分“会做”和“有步骤、可重复地做”。 | |
| 44 | 程序执行过程02-A1-2 | 理解代码从编写到运行的流程，以及“语句逐条执行、函数调用、输入输出”在计算机中的基本过程。 | |
| 45 | 基础时间复杂度02-A1-3 | 建立“用操作次数随输入规模 n 的增长趋势来衡量算法快慢”的初步概念（大 O 思想）。 | |
| 46 | 常数复杂度 O(1)02-A1-4 | 理解 O(1)：无论输入多大，操作次数都固定不变，是最高效的复杂度。 | |
| 47 | 线性复杂度 O(n)02-A1-5 | 理解 O(n)：操作次数随输入规模 n 成正比增长，常见于“遍历一遍”的算法。 | |
| 48 | O(log n)02-A2-1 | 理解 O(log n) 时间复杂度：每次操作把问题规模减半（如二分查找），所需步数约为 log₂n，增长极慢。 | |
| 49 | O(n log n)02-A2-2 | 理解 O(n log n)：线性乘对数，是归并、快排这类基于比较的排序能达到的最优复杂度。 | |
| 50 | O(n²)02-A2-3 | 理解 O(n²)：双重循环的典型复杂度，常见于朴素排序与朴素枚举，适合 n 较小的场景。 | |
| 51 | 多项式复杂度02-A2-4 | 理解多项式复杂度 O(n^k)：运行时间是关于 n 的多项式，次数 k 越低越快。 | |
| 52 | 指数复杂度02-A2-5 | 理解指数复杂度 O(2^n) 与 O(c^n)：随 n 爆炸增长，常见于暴力枚举/回溯，需要剪枝或换算法。 | |
| 53 | 空间复杂度02-A2-6 | 区分时间复杂度与空间复杂度：空间复杂度衡量算法额外占用的内存随 n 的增长。 | |
| 54 | 最坏情况02-A2-7 | 理解最坏情况复杂度：输入最不利时算法需要的资源上界，是可靠性的保证。 | |
| 55 | 最好情况02-A2-8 | 理解最好情况复杂度：最有利输入下的资源消耗下界，常用于"已接近目标"的快速路径。 | |
| 56 | 平均情况02-A2-9 | 理解平均情况复杂度：对所有可能输入取期望，比最坏更贴近"典型"表现。 | |
| 57 | 嵌套循环复杂度02-A2-10 | 掌握分析嵌套循环复杂度：内外层循环次数相乘，注意"与 n 无关"的内层与"随外层变化"的内层。 |
模拟与枚举
21 个标签 · 13 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 73 | 基础模拟03-A1-1 | 理解“模拟”这一基础算法思想：按题目/过程的原样描述，一步步把流程用代码复现出来。 | |
| 74 | 数值模拟03-A1-2 | 掌握“按数值规则逐步演算”的模拟：根据给定公式/规则，循环更新数值直至结束。 | |
| 75 | 过程模拟03-A1-3 | 掌握“按步骤/阶段推进”的过程模拟：用状态机思想，依输入或规则在不同阶段间切换。 | |
| 76 | 条件模拟03-A1-4 | 掌握“带分支判定的模拟”：在模拟过程中根据条件选择不同操作（if/多分支），忠实复现含规则的流程。 | |
| 77 | 简单枚举03-A1-5 | 掌握“枚举（穷举）”思想：把所有可能情况一一尝试，找到满足条件的答案。 | |
| 78 | 分类讨论03-A1-6 | 掌握“分类讨论”思想：把问题按条件分成若干情况，对每种情况分别处理，避免遗漏。 | |
| 79 | 多状态模拟03-A2-1 | 掌握"多状态模拟"：用多个状态变量同时刻画一个过程，按规则逐步推进直到结束。 | |
| 80 | 数组模拟03-A2-2 | 掌握"用数组来模拟"：把一排对象放进数组，通过下标访问和修改，完成排队、摆放、计数等过程。 | |
| 81 | 字符串模拟03-A2-3 | 掌握"用字符串来模拟"：把过程看成对一串字符的逐个处理，按规则生成或修改字符串。 | |
| 82 | 二维网格模拟03-A2-4 | 掌握"二维网格模拟"：用二维数组表示棋盘、地图、矩阵，通过 (行,列) 坐标更新状态。 | |
| 83 | 多重枚举03-A2-5 | 掌握"多重枚举"：同时枚举两个或更多变量（嵌套循环），在组合空间里找满足条件的解。 | |
| 84 | 枚举优化03-A2-6 | 掌握"枚举优化"：通过缩小枚举范围、提前剪枝、利用单调性，让枚举从 O(n²) 降到可接受的复杂度。 | |
| 85 | 枚举边界03-A2-7 | 掌握"枚举边界"：小心循环的开闭区间，避免漏解（off-by-one）或多解，尤其注意等号与最大/最小取值。 | |
| 86 | 完全搜索03-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 87 | 递归枚举03-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 88 | 子集枚举03-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 89 | 排列枚举03-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 90 | 状态枚举03-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 91 | 枚举 + 剪枝03-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 92 | 枚举 + 数学03-A3-7 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 93 | 枚举 + 二分03-A3-8 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
数组与基础预处理
15 个标签 · 15 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 99 | 一维数组04-A1-1 | 理解一维数组：连续编号的同类型容器，能用下标读写，知道数组长度是固定的（静态数组）或可变（动态数组）。 | |
| 100 | 二维数组04-A1-2 | 理解二维数组：用"行、列"两个下标表示表格/矩阵，掌握声明、读写与遍历。 | |
| 101 | 数组遍历04-A1-3 | 掌握数组遍历：用循环依次访问每个元素，完成查找、打印、变换等任务。 | |
| 102 | 数组统计04-A1-4 | 掌握数组统计：在遍历数组时计算总和、平均值、个数等汇总信息。 | |
| 103 | 最大值/最小值04-A1-5 | 掌握在数组中找最大值/最小值，以及对应的下标（位置）。 | |
| 104 | 计数数组04-A1-6 | 掌握计数数组（桶）：用数组下标表示"值"，数组元素表示"出现次数"，高效统计频率。 | |
| 105 | 标记数组04-A1-7 | 掌握标记数组（visited/flag）：用布尔或整型数组记录"某格/某人/某值是否已被处理过"，防止重复或遗漏。 | |
| 106 | 前缀和04-A2-1 | 掌握一维前缀和：预处理 s[i]=a[0..i-1] 的和，使任意区间和 O(1) 查询。 | |
| 107 | 二维前缀和04-A2-2 | 掌握二维前缀和：预处理后任意子矩阵和 O(1) 查询，使用容斥公式。 | |
| 108 | 差分04-A2-3 | 掌握一维差分：对区间加减的多次操作后，用 O(1) 标记、最后 O(n) 还原，避免每次 O(n) 修改。 | |
| 109 | 二维差分04-A2-4 | 掌握二维差分：对子矩阵整体加减，用 O(1) 标记、最后 O(nm) 还原。 | |
| 110 | 前缀最值04-A2-5 | 掌握前缀最值：预处理前缀的最大值/最小值，支持 O(1) 查询"从开头到某位置"的极值。 | |
| 111 | 后缀最值04-A2-6 | 掌握后缀最值：从某位置到结尾的极值，常与前缀最值配合解决"两侧约束"问题。 | |
| 112 | 前后缀统计04-A2-7 | 综合运用前缀与后缀预处理，解决"左侧/右侧满足条件的个数或极值"类问题。 | |
| 113 | 离线预处理04-A2-8 | 理解离线思想：先把所有询问收集起来，按某种顺序统一处理（常配合排序或前缀结构），降低总复杂度。 |
排序
12 个标签 · 12 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 124 | 冒泡排序05-A1-1 | 理解冒泡排序：反复比较相邻元素，把"大的"一步步换到右边，像气泡上浮一样把最大值冒到末尾。 | |
| 125 | 选择排序05-A1-2 | 理解选择排序：每轮从"未排序部分"挑出最小值，放到已排序部分的末尾。 | |
| 126 | 插入排序05-A1-3 | 理解插入排序：像整理手牌一样，把每个新元素插入到前面已排好序的部分中的正确位置。 | |
| 127 | 排序思想05-A1-4 | 理解"为什么需要排序"以及基于比较的排序的基本思想：通过元素间的比较与交换，把无序变有序。 | |
| 128 | 稳定性05-A1-5 | 理解排序的"稳定性"：相等元素在排序后是否保持原有相对顺序；并记住常见排序是否稳定。 | |
| 129 | 快速排序05-A2-1 | 掌握快速排序：选轴(pivot)分区，使左边≤轴、右边≥轴，再递归处理左右。 | |
| 130 | 归并排序05-A2-2 | 掌握归并排序：分治地把两半分别排好，再合并两个有序序列，稳定且稳定 O(n log n)。 | |
| 131 | sort05-A2-3 | 掌握语言内置排序（Python sorted / C++ sort）的用法与复杂度，能直接对数组排序。 | |
| 132 | 自定义比较05-A2-4 | 掌握自定义比较函数/键，按"自己定义的规则"排序（如按绝对值、按字符串长度）。 | |
| 133 | 多关键字排序05-A2-5 | 掌握多关键字排序：先按主关键字，相同再按次关键字（用元组 key 或稳定排序组合）。 | |
| 134 | 结构体排序05-A2-6 | 掌握对"结构体/对象数组"按某个字段排序（如学生按成绩）。 | |
| 135 | 稳定排序应用05-A2-7 | 掌握"稳定排序"的实际应用：保留并列数据的原有顺序，或实现多关键字排序。 |
查找与二分
18 个标签 · 10 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 146 | 顺序查找06-A1-1 | 掌握顺序查找：从第一个元素开始逐个比较，直到找到目标或扫完整个数组。适用于未排序数据。 | |
| 147 | 有序数组查找06-A1-2 | 掌握在"已升序数组"中查找：仍可顺序扫描，但一旦遇到比目标大的元素即可提前停止。 | |
| 148 | 二分查找基础06-A1-3 | 掌握二分查找：在已升序数组中，每次取中点比较，把搜索区间缩小一半，复杂度降到 O(log n)。 | |
| 149 | lower_bound06-A2-1 | 掌握 lower_bound：在有序数组中找"第一个 ≥ x"的位置（C++ lower_bound / 手写二分）。 | |
| 150 | upper_bound06-A2-2 | 掌握 upper_bound：找"第一个 > x"的位置，与 lower_bound 配合统计某值的个数。 | |
| 151 | 二分边界06-A2-3 | 掌握二分求"边界"：第一个满足 / 最后一个满足某条件的位置（答案落在有序判定函数上）。 | |
| 152 | 二分最大值06-A2-4 | 掌握"二分答案求最大"：当答案越大越难满足时，二分找满足条件的最大值。 | |
| 153 | 二分最小值06-A2-5 | 掌握"二分答案求最小"：当答案越小越难满足时，二分找满足条件的最小值。 | |
| 154 | 二分答案06-A2-6 | 综合理解"二分答案"：把最优化问题转为"判定 mid 是否可行"的二分搜索。 | |
| 155 | 单调性06-A2-7 | 理解单调性是二分的前提：只有"判定结果随 mid 单调变化"才能用二分。 | |
| 156 | 答案二分06-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 157 | 二分 + 贪心06-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 158 | 二分 + 前缀和06-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 159 | 二分 + 双指针06-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 160 | 二分 + DP06-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 161 | 二分 + 图论06-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 162 | 最大化最小值06-A3-7 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 163 | 最小化最大值06-A3-8 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
双指针与滑动窗口
8 个标签 · 8 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 170 | 左右指针07-A1-1 | 掌握归并排序：用分治把数组分成两半分别排序，再合并两个有序序列，整体达到 O(n log n)。 | |
| 171 | 同向双指针07-A1-2 | 理解归并过程可顺带统计逆序对数量，把“计数”问题转化为分治合并时的跨段计数。 | |
| 172 | 区间移动07-A1-3 | 掌握非比较排序：计数排序用“值域桶”统计出现次数，桶排序把值域分桶后桶内再排，突破 O(n log n) 下界。 | |
| 173 | 双指针求区间07-A2-1 | 掌握同向双指针（尺取法）：用左右指针维护一个区间，根据条件移动右/左指针，高效求出满足某约束的区间。 | |
| 174 | 双指针求和07-A2-2 | 掌握对有序数组用双指针求“和为定值”的组合：两数之和直接左右夹逼，三数之和排序后枚举首元素再双指针。 | |
| 175 | 滑动窗口07-A2-3 | 掌握滑动窗口技巧：在数组/字符串上维护一个随指针滑动的窗口，用哈希或计数实时更新窗口内统计量（和、最值、种类数）。 | |
| 176 | 最长满足条件区间07-A2-4 | 用可变滑动窗口求“最长满足某约束的区间”，如最多含 k 个不同字符、或子数组和≤K，掌握“超界即收缩”的模板。 | |
| 177 | 最短满足条件区间07-A2-5 | 用可变窗口求“最短覆盖某条件的区间”，如包含全部目标字符、或子数组和≥S，掌握“满足条件才尝试收缩”。 |
递归、分治
14 个标签 · 9 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 186 | 递归思想08-A1-1 | 理解递归思想：把"规模为 n 的问题"转化为"一个或多个规模更小的同类子问题"，直到小到能直接解决。 | |
| 187 | 递归函数08-A1-2 | 能把递归思想写成真正的递归函数：函数体内调用自身，并正确传递缩小后的参数。 | |
| 188 | 递归终止条件08-A1-3 | 掌握写好递归的"第一要素"：明确且正确的终止条件（base case），保证递归能停下来。 | |
| 189 | 简单递归08-A1-4 | 通过几个经典小例子（求和、数字各位和、幂、打印）巩固递归写法，体会"相信子问题已解决"。 | |
| 190 | 分治思想08-A2-1 | 掌握分治：把问题分成独立子问题，各自解决后合并结果（与单纯的递归区别在于"合"）。 | |
| 191 | 归并排序08-A2-2 | 用"分治"视角重写并理解归并排序的分解与合并过程。 | |
| 192 | 快速排序08-A2-3 | 用分治视角理解快排：选轴分区使问题独立，再递归处理左右子区间。 | |
| 193 | 二分递归08-A2-4 | 掌握二分递归：在递归中把规模对半（而非减一），复杂度降为 O(log n) 或 O(n log n)。 | |
| 194 | 递归搜索08-A2-5 | 掌握用递归进行搜索/枚举（如 DFS 遍历、子集/排列生成），理解搜索树与回溯。 | |
| 195 | 分治 + 二分08-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 196 | 分治 + DP08-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 197 | 分治 + 数据结构08-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 198 | 逆序对08-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 199 | CDQ 分治基础08-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
贪心
10 个标签 · 10 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 205 | 贪心思想09-A1-1 | 理解贪心：每一步都做"当前看起来最优"的选择，期望得到全局最优。 | |
| 206 | 局部最优09-A1-2 | 理解"局部最优"与"全局最优"的关系，学会判断一个问题能否贪心。 | |
| 207 | 简单贪心09-A1-3 | 通过经典简单贪心题（区间选点、拼接等）巩固贪心套路。 | |
| 208 | 直接选择09-A1-4 | 掌握"直接选择"型贪心：每步直接挑当前最优元素（如选择排序、选最大可用）。 | |
| 209 | 排序贪心09-A2-1 | 理解贪心算法的两个支柱：贪心选择性质（局部最优能导向全局最优）与最优子结构；并掌握“交换论证”证明。 | |
| 210 | 区间贪心09-A2-2 | 熟练区间调度：按结束时间升序，依次选取与已选不冲突的区间，得到最多互不重叠区间。 | |
| 211 | 交换贪心09-A2-3 | 掌握两类区间贪心：用最少点“刺穿”所有区间（按结束时间，在交集末放点）；用最少区间覆盖 [0,T]（按开始时间，选能接上的结束最晚者）。 | |
| 212 | 优先队列贪心09-A2-4 | 理解哈夫曼贪心：每次合并两个最小权值，使总代价最小；用于最优前缀码与合并果子等问题。 | |
| 213 | 活动选择09-A2-5 | 掌握“先排序再贪心”的模式：按性价比、按比值、按字典序等排序后顺序选取，常见于任务安排与拼接问题。 | |
| 214 | 区间调度09-A2-6 | 掌握两类调度贪心：任务有截止时间求最多完成数（按截止时间贪心+可反悔）；负载均衡用“最长处理时间优先”近似。 |
搜索
29 个标签 · 19 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 226 | DFS 基础10DFS-A1-1 | 掌握深度优先搜索：用递归（或栈）沿着一条路走到底再回溯，遍历所有状态/节点。 | |
| 227 | 图 DFS10DFS-A1-2 | 用 DFS 判断两点是否连通、统计连通块个数，理解“从一个点能到达的所有点”构成连通块。 | |
| 228 | 树 DFS10DFS-A1-3 | 用 DFS 回溯系统地枚举所有方案（全排列、子集），并在递归返回前“恢复现场”以尝试其他分支。 | |
| 229 | 网格 DFS10DFS-A1-4 | 用 DFS 的三色标记（白/灰/黑）检测有向图是否存在环：遇到“灰色”祖先说明有回边即环。 | |
| 230 | Flood Fill10DFS-A1-5 | 用 DFS（逆后序）求出有向无环图的拓扑排序：每次离开节点时把它加入答案头部。 | |
| 231 | 连通块10DFS-A2-1 | 用 DFS 在无向/有向图上求连通分量个数与每个块包含的节点，理解“从每个未访问点出发能到达的全部点”构成一个分量。 | |
| 232 | 全排列10DFS-A2-2 | 掌握含重复元素的全排列：排序后用“同一层相同值只用一次”的剪枝避免重复排列，理解回溯中“层内去重”。 | |
| 233 | 组合10DFS-A2-3 | 用回溯枚举从 n 个元素中选 k 个的所有组合，理解“按位置升序选”以避免重复并自然去重。 | |
| 234 | 子集10DFS-A2-4 | 在子集枚举基础上加入约束（如子集和等于目标、或大小限制），掌握“选/不选 + 剪枝”的回溯框架。 | |
| 235 | 回溯10DFS-A2-5 | 归纳回溯的通用范式：做选择→递归→撤销选择；并掌握两类剪枝——可行性剪枝与最优性剪枝，用以削减搜索树。 | |
| 236 | 状态搜索10DFS-A2-6 | 把“状态”当作节点进行 DFS/回溯搜索：状态含当前位置、已收集物等；通过 visited 记录已搜状态避免重复与环。 | |
| 237 | DFS 剪枝10DFS-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 238 | 搜索顺序优化10DFS-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 239 | 记忆化搜索10DFS-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 240 | 状态压缩搜索10DFS-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 241 | DFS + DP10DFS-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 242 | DFS + 贪心10DFS-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 248 | BFS10BFS-A1-1 | 掌握广度优先搜索：用队列逐层扩展，先访问离起点近的节点，适合求最短路与层序遍历。 | |
| 249 | 网格 BFS10BFS-A1-2 | 用 BFS 求无权图（边权均为 1）从起点到各点的最短距离，首次访问即定距，避免重复入队。 | |
| 250 | 最短步数10BFS-A1-3 | 掌握多源 BFS：把所有起点同时入队（距离 0），一次 BFS 即求每个点到最近起点的距离。 | |
| 251 | Flood Fill10BFS-A1-4 | 在网格上用 BFS（Flood Fill）求连通块大小、数量与最远格，理解“四连通/八连通”的邻居扩展。 | |
| 252 | 多源 BFS10BFS-A2-1 | 掌握多源 BFS：把所有起点同时入队（距离 0），一次遍历即求每个点到最近起点的距离，常用于“最近设施”“地图扩散”。 | |
| 253 | 分层 BFS10BFS-A2-2 | 掌握分层 BFS：用“每层结束标记”或“按层循环”依次处理同一距离的所有节点，便于层序遍历与按层统计。 | |
| 254 | 状态 BFS10BFS-A2-3 | 把“状态”作为 BFS 节点求最短步数（边权为 1）：状态=(位置,朝向/钥匙/已访问集合)，用 visited 去重保证首次到达即最短。 | |
| 255 | BFS + 状态10BFS-A2-4 | 掌握双向 BFS：从起点与终点同时扩展，相遇时停止，可指数级减少搜索量；适用于状态空间大但路径深的场景。 | |
| 256 | 0-1 BFS10BFS-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 257 | BFS + 位状态10BFS-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 258 | BFS + 双端队列10BFS-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 259 | BFS + 最短路10BFS-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
数据结构
10 个标签 · 10 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 263 | 数组11线性结构-A1-1 | 掌握数组：连续存储、随机访问 O(1)、按下标读写，是其他数据结构的基础。 | |
| 264 | vector11线性结构-A1-2 | 掌握 C++ vector（动态数组）：自动扩容、尾部增删 O(1)、随机访问，是可变长数组。 | |
| 265 | stack11线性结构-A1-3 | 掌握栈：后进先出（LIFO），支持压栈/弹栈/取顶，常用于括号匹配、DFS。 | |
| 266 | queue11线性结构-A1-4 | 掌握队列：先进先出（FIFO），支持入队/出队/看队首，常用于 BFS、缓冲。 | |
| 267 | deque11线性结构-A1-5 | 掌握双端队列 deque：两端都能 O(1) 增删，兼具栈与队列功能，常用于滑动窗口。 | |
| 268 | priority_queue11线性结构-A2-1 | 巩固栈的“后进先出”：用栈判断括号是否匹配，并理解中缀转后缀后用栈求值。 | |
| 269 | set11线性结构-A2-2 | 理解循环队列：用定长数组 + 头尾指针（取模）实现 O(1) 入队出队，区分“满”与“空”。 | |
| 270 | map11线性结构-A2-3 | 掌握双端队列：两端都可 O(1) 入队/出队，用于滑动窗口、单调队列等进阶场景。 | |
| 271 | unordered_set11线性结构-A2-4 | 掌握单调栈：维护栈内元素单调递增/减，在线性时间内求“左边/右边第一个更大（更小）元素”。 | |
| 272 | unordered_map11线性结构-A2-5 | 掌握单调队列：用 deque 维护窗口内元素的单调位置，O(n) 求滑动窗口最大值/最小值。 |
链表
8 个标签 · 8 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 283 | 单链表12-A1-1 | 掌握单链表：节点含值域与 next 指针，只能单向遍历，插入/删除只需改指针 O(1)（已知前驱）。 | |
| 284 | 双链表12-A1-2 | 掌握双链表：节点含 prev 与 next，可双向遍历，删除/插在前驱或后继都方便。 | |
| 285 | 循环链表12-A1-3 | 理解循环链表：尾节点 next 指向头，形成环，适合"轮转/环形"场景。 | |
| 286 | 链表遍历12-A1-4 | 掌握链表遍历与常见处理：从头指针沿 next 走到尾，期间可计数、查找、反转等。 | |
| 287 | 插入删除12-A2-1 | 掌握单链表在指定位置/按值插入与删除节点的指针操作：插入要“先连后断”防止断链，删除要记得释放/跳过。 | |
| 288 | 链表反转12-A2-2 | 掌握单链表反转的迭代与递归两种写法：迭代用三指针（prev/cur/next）逐个翻转指向，递归从尾部回溯翻转。 | |
| 289 | 快慢指针12-A2-3 | 掌握快慢指针（龟兔赛跑）：快指针走两步、慢指针走一步，可判环、求中点、找倒数第 k 个节点。 | |
| 290 | 链表合并12-A2-4 | 掌握合并两个升序链表：用 dummy 哨兵节点，比较两链表头节点值，小的接上并后移，最后接剩余。 |
并查集
7 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 296 | 并查集概念13-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 297 | Find13-A1-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 298 | Union13-A1-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 299 | 路径压缩13-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 300 | 按秩合并13-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 301 | 按大小合并13-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 302 | 连通块13-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
树
15 个标签 · 15 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 311 | 树的定义14基础树-A1-1 | 理解树的定义与基本术语：根、父/子、叶子、度、深度、高度，以及二叉树与多叉树的区别。 | |
| 312 | 根14基础树-A1-2 | 掌握二叉树的重要性质：第 i 层最多 2^(i-1) 个节点，深度为 h 的二叉树最多 2^h-1 个节点，叶子与度为 2 节点数关系。 | |
| 313 | 父节点14基础树-A1-3 | 区分满二叉树（每层全满）与完全二叉树（层序填满、最后一层从左连续），并理解完全二叉树用数组存储的优势。 | |
| 314 | 子节点14基础树-A1-4 | 掌握二叉树的顺序存储（数组按下标表示左右孩子），理解其适合完全二叉树、对一般树有空洞浪费。 | |
| 315 | 叶节点14基础树-A1-5 | 掌握二叉树的链式存储：用节点结构（val, left, right）动态建树，理解它与顺序存储的取舍。 | |
| 316 | 深度14基础树-A1-6 | 掌握三种深度遍历的递归写法：先序（根左右）、中序（左根右）、后序（左右根），理解访问根的顺序差异。 | |
| 317 | 高度14基础树-A1-7 | 掌握用“先序定根 + 中序定左右”递归重建二叉树的方法，并理解其唯一性条件。 | |
| 318 | 二叉树14基础树-A2-1 | 掌握二叉树的层序遍历：用队列按层扩展，输出逐层节点，可顺便记录每层或判断完全性。 | |
| 319 | 二叉树遍历14基础树-A2-2 | 掌握用栈模拟递归实现先/中/后序遍历，理解递归隐式栈的显式化，避免深递归溢出。 | |
| 320 | 前序14基础树-A2-3 | 理解二叉搜索树（BST）：左子树均小于根、右子树均大于根；掌握递归/迭代查找，复杂度与树高相关。 | |
| 321 | 中序14基础树-A2-4 | 掌握 BST 插入：沿查找路径下行，遇空位插入新节点，保持 BST 性质。 | |
| 322 | 后序14基础树-A2-5 | 掌握 BST 删除的三种情况：删叶子直接去、删单孩子接上、删双孩子用“前驱/后继”替换后递归删除。 | |
| 323 | 层序14基础树-A2-6 | 掌握哈夫曼树：每次合并权值最小的两节点构造带权路径长度最小的二叉树，并生成前缀编码。 | |
| 324 | 完全二叉树14基础树-A2-7 | 理解表达式树：把算式建成二叉树（叶子为操作数、内部为运算符），通过后序/中序遍历求值与还原。 | |
| 325 | 二叉搜索树14基础树-A2-8 | 综合运用遍历：求树高、节点数、直径，以及“由中序+后序重建”，巩固遍历在树问题中的核心地位。 |
堆与优先队列
8 个标签 · 8 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 344 | 堆概念15-A1-1 | 理解堆：一种完全二叉树，且父节点“不小于/不大于”孩子（大根/小根），根即最值，支持 O(log n) 取最值。 | |
| 345 | 最大堆15-A1-2 | 区分大根堆（取最大）与小根堆（取最小），并理解在 STL/Python 中如何用优先队列实现两者。 | |
| 346 | 最小堆15-A1-3 | 掌握堆的核心操作：插入时“上浮”（与父比较交换），删除堆顶时“下沉”（与较小/较大孩子比较交换），均 O(log n)。 | |
| 347 | priority_queue15-A1-4 | 掌握堆排序（原地建堆后反复取堆顶放末尾，O(n log n)）及优先队列在 TopK、中位数、Dijkstra 等场景的应用。 | |
| 348 | 堆排序思想15-A2-1 | 掌握二叉堆（优先队列）：Python 用 heapq（默认最小堆），C++ 用 priority_queue；理解 push/pop/top 与“取最小/最大”的语义。 | |
| 349 | Top K15-A2-2 | 理解堆排序：先建堆（heapify），再反复取堆顶与末尾交换并下沉，得到升序序列；理解原地排序与 O(n log n)。 | |
| 350 | 动态最大/最小值15-A2-3 | 用堆在 O(n log k) 求第 k 大/小元素：维护一个大小为 k 的堆，或基于快速选择；理解堆法比全排序更省。 | |
| 351 | 贪心 + 堆15-A2-4 | 掌握用堆合并多个有序序列（如 K 个有序链表、数据流 TopK 汇总），理解“每个序列一个指针 + 最小堆选最小”的模式。 |
单调结构
6 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 360 | 单调栈思想16-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 361 | 单调队列思想16-A1-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 362 | 下一个更大元素16-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 363 | 下一个更小元素16-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 364 | 滑动窗口最值16-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 365 | 单调队列优化16-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
树状数组 / 线段树 / 区间数据结构
6 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 373 | 区间查询思想17-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 374 | 前缀维护17-A1-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 375 | 树状数组17-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 376 | 单点修改17-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 377 | 前缀查询17-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 378 | 区间求和17-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
图论
20 个标签 · 14 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 395 | 图的定义18图基础-A1-1 | 掌握图的两种存储：邻接表（vector<vector<int>>，省空间、遍历快）与邻接矩阵（二维数组，查边 O(1) 但费空间）；按稠密/稀疏选结构。 | |
| 396 | 点18图基础-A1-2 | 掌握在一般图上做 DFS/BFS 遍历：用 visited 数组防止重复访问（图可能成环），得到从某点出发能到达的所有节点与遍历序。 | |
| 397 | 边18图基础-A1-3 | 掌握拓扑排序：对有向无环图（DAG）排出顶点顺序，使每条边 u→v 中 u 在 v 前；用 Kahn 算法（入度队列）或 DFS 后序。 | |
| 398 | 度18图基础-A1-4 | 掌握 Dijkstra：在非负权图上求单源最短路，用最小堆每次取距离最小的点松弛其邻边；复杂度 O((V+E) log V)。 | |
| 399 | 有向图18图基础-A1-5 | 掌握可处理负权的单源最短路：Bellman-Ford 对所有边松弛 V-1 轮；SPFA 用队列优化，并在入队次数≥V 时判定负环。 | |
| 400 | 无向图18图基础-A1-6 | 掌握 Kruskal 求最小生成树：把所有边按权升序，用并查集依次加入不形成环的边，直到选够 V-1 条。 | |
| 401 | 邻接矩阵18图基础-A1-7 | 掌握 Prim 求最小生成树：从一点出发，用最小堆不断把“未访问点中离已选集合最近的边”对应的点加入集合，直到覆盖所有点。 | |
| 402 | 邻接表18图基础-A1-8 | 掌握并查集：find（路径压缩）与 union（按秩/大小合并），用于动态连通性、Kruskal、集合计数；近乎 O(1) 每操作。 | |
| 403 | 图 DFS18图基础-A2-1 | 掌握二分图判定：用两种颜色对图染色，相邻点异色；DFS/BFS 染色时若遇同色相邻则非二分图。 | |
| 404 | 图 BFS18图基础-A2-2 | 掌握欧拉路判定：无向图中每个点度数均为偶则有欧拉回路；恰两个奇度点则有欧拉路（起自奇度点）；用 Hierholzer 输出路径。 | |
| 405 | 连通分量18图基础-A2-3 | 掌握求树（或无权图）直径：两次 BFS/DFS——任选点求最远点 u，再从 u 求最远点 v，u 到 v 距离即直径。 | |
| 406 | Flood Fill18图基础-A2-4 | 掌握倍增法求 LCA：预处理每个点向上 2^k 步的祖先 up[u][k]，查询时先把两点提到同一深度，再同步上跳找分叉点上方。 | |
| 407 | 路径18图基础-A2-5 | 掌握负环检测：在 SPFA/Bellman-Ford 中，若某点被松弛（入队）次数达到 n 次以上，说明存在可无限缩短的负权环。 | |
| 408 | 环18图基础-A2-6 | 掌握在 Dijkstra/BFS 过程中统计最短路径条数：当找到更短路径时刷新条数，当找到等长路径时累加条数（取模）。 | |
| 409 | 拓扑排序18图基础-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 410 | DAG18图基础-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 411 | DAG DP18图基础-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 412 | 二分图18图基础-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 413 | 二分图染色18图基础-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 414 | 二分图匹配18图基础-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
最短路
5 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 421 | 网格最短路19-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 422 | BFS 最短路19-A1-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 423 | Dijkstra19-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 424 | Floyd19-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 425 | Bellman-Ford19-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
最小生成树
4 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 436 | MST 概念20-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 437 | Kruskal20-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 438 | Prim20-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 439 | 并查集 + MST20-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
动态规划
22 个标签 · 22 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 462 | DP思想22DP基础-A1-1 | 理解 DP 三要素：状态定义、状态转移方程、边界/初始；用“大问题=小问题组合”避免重复计算。 | |
| 463 | 状态22DP基础-A1-2 | 掌握自顶向下 DP：用递归 + 缓存（记忆化）避免重复子问题，与自底向上填表等价且更易写出。 | |
| 464 | 转移22DP基础-A1-3 | 掌握 LIS：dp[i]=以 a[i] 结尾的最长上升子序列长度，O(n²)；以及用“贪心+二分”的 O(n log n) 优化。 | |
| 465 | 初始状态22DP基础-A1-4 | 掌握 LCS：二维 DP，dp[i][j] 为 a 前 i 与 b 前 j 的 LCS 长度，相等则 +1，否则取两侧最大。 | |
| 466 | 终止状态22DP基础-A1-5 | 用数字三角形巩固线性 DP：自底向上，每个点取左下/右下较大者累加，得到从顶到的最大路径和。 | |
| 467 | 一维 DP22DP基础-A2-1 | 掌握 0-1 背包：n 件物品每种至多选一次，dp[i][j] 为前 i 件在容量 j 下的最大价值，转移“选/不选”。 | |
| 468 | 二维 DP22DP基础-A2-2 | 掌握完全背包：每种物品可无限选，转移时容量正序枚举（同一物品可被重复选多次）。 | |
| 469 | 网格 DP22DP基础-A2-3 | 理解背包为何能滚动到一维：当前行只依赖上一行，故用一维数组并按特定顺序更新即可省去第一维。 | |
| 470 | 记忆化搜索22DP基础-A2-4 | 掌握两类背包变体：多重背包（每种有数量上限，可二进制拆分转化为 0-1）与分组背包（每组至多选一件）。 | |
| 471 | 简单背包22DP基础-A2-5 | 用两个经典模型巩固 DP：网格最小路径和（只能右/下）与编辑距离（增删改使两串相同），体会状态设计。 | |
| 472 | 01背包22DP基础-A3-1 | 掌握两类经典线性 DP：最长递增子序列（LIS，O(n log n)）与最长公共子序列（LCS，O(nm)），理解状态定义与转移。 | |
| 473 | 完全背包22DP基础-A3-2 | 掌握多重背包的两种优化：二进制拆分将数量拆成 2 的幂转化为 0/1 背包；单调队列优化做到 O(nV)。 | |
| 474 | 多重背包22DP基础-A3-3 | 掌握在树上做 DP：选/不选类（最大独立集）、树上背包（子树合并），用 DFS 后序在子树状态上转移。 | |
| 475 | 分组背包22DP基础-A3-4 | 掌握区间 DP：状态 dp[l][r] 表示子区间 [l,r] 的最优值，长度从小到大枚举，由短区间合并成长区间。 | |
| 476 | LIS22DP基础-A3-5 | 掌握状压 DP：当状态维度小（如 n≤12）时，用二进制整数表示每一行/列的状态，逐行转移并保证行间约束合法。 | |
| 477 | LCS22DP基础-A3-6 | 掌握数位 DP：统计满足数位约束（如不含 4、数字和、特定子串）的整数个数，按位从高到低记忆化搜索，用 up 限制上界。 | |
| 478 | 区间 DP22DP基础-A3-7 | 掌握概率/期望 DP：以状态为随机变量，用 E = Σ p·v 或全期望公式递推期望；注意循环转移时的移项求解。 | |
| 479 | 状态压缩 DP22DP基础-A3-8 | 掌握用状压 DP 解旅行商 TSP：dp[mask][i] 表示已访问集合 mask 且当前在城市 i 的最小代价，枚举下一未访问城市转移。 | |
| 480 | 树形 DP22DP基础-A3-9 | 掌握用单调队列优化形如 dp[i]=min_{j}(dp[j]+f(i,j)) 的 DP：当 f 可拆成只关于 i 与只关于 j 的部分时，用滑动窗口维护最优 j。 | |
| 481 | DAG DP22DP基础-A3-10 | 掌握博弈类 DP/递推：用 win[i] 表示面对局面 i 是否必胜（存在一步到必败态即可胜），常用于 Nim 及组合游戏规则分析。 | |
| 482 | 计数 DP22DP基础-A3-11 | 掌握字符串类 DP：编辑距离（插入/删除/替换的最小操作数）与最长回文子序列，理解二维 DP 在字符串上的转移。 | |
| 483 | 概率 DP22DP基础-A3-12 | 掌握 DP 的通用建模思路：明确状态、转移、边界与答案位置；并能把复杂问题拆成上述经典 DP 的组合或变形。 |
位运算 / 状态压缩
17 个标签 · 12 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 496 | 二进制23-A1-1 | 理解十进制与二进制的互转、位权概念，以及整数以补码存储。 | |
| 497 | 位与23-A1-2 | 掌握按位与 &——对应位都为 1 才为 1，常用于判奇偶、取某些位、清位。 | |
| 498 | 位或23-A1-3 | 掌握按位或 |——对应位有 1 则为 1，常用于置位（把某位置 1）、合并标志位。 | |
| 499 | 位非23-A1-4 | 理解按位取反 ~（含补码陷阱），并用它配合 & 来清位。 | |
| 500 | 异或23-A1-5 | 掌握按位异或 ^——相同为 0、不同为 1，利用其自反性做无临时变量交换与"找出现奇数次的数"。 | |
| 501 | 左移23-A1-6 | 理解左移 <<——在不溢出时等价于乘 2^k，用于快速乘除、构造掩码、取位。 | |
| 502 | 右移23-A1-7 | 理解右移 >>——等价于除以 2^k（向下取整），用于快速除二、取位、统计二进制中 1 的个数。 | |
| 503 | 位掩码23-A2-1 | 理解位掩码：用一个整数的二进制位表示一组布尔状态，第 i 位为 1 表示第 i 个选项被选中。 | |
| 504 | 集合表示23-A2-2 | 用整数表示一个有限集合（元素为 0..N-1），元素 i 在集合中当且仅当第 i 位为 1。 | |
| 505 | 子集判断23-A2-3 | 掌握用位运算判断一个集合是否为另一个集合的子集/超集，以及如何枚举子集。 | |
| 506 | lowbit23-A2-4 | 掌握 lowbit：取出整数二进制最低位的 1 及其后的 0 所构成的值，公式为 x & (-x)。 | |
| 507 | popcount23-A2-5 | 掌握 popcount（统计整数二进制中 1 的个数），以及位运算统计技巧。 | |
| 508 | 状态压缩23-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 509 | 位 DP23-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 510 | 子集枚举23-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 511 | 位运算优化23-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 512 | Bitset23-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
数学与数论
20 个标签 · 12 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 518 | 奇偶性24基础数论-A1-1 | 理解整数的奇偶：能被 2 整除为偶数，否则为奇数；掌握用取模或位运算判断奇偶。 | |
| 519 | 最大公约数24基础数论-A1-2 | 掌握用欧几里得算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数 gcd。 | |
| 520 | 最小公倍数24基础数论-A1-3 | 掌握用 gcd 求最小公倍数 lcm：lcm(a,b) = a×b / gcd(a,b)，并注意先除后乘以防溢出。 | |
| 521 | 素数24基础数论-A1-4 | 掌握判断素数的试除法：只需检查到 √n 的素数/整数因子即可。 | |
| 522 | 质因数分解24基础数论-A1-5 | 掌握质因数分解：把 n 拆成素数因子的乘积，通过不断除以最小因子实现。 | |
| 523 | 欧几里得算法24基础数论-A2-1 | 掌握欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数 gcd：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。 | |
| 524 | 埃氏筛24基础数论-A2-2 | 掌握埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）在 O(n log log n) 内求出 [2,n] 内的所有素数。 | |
| 525 | 线性筛24基础数论-A2-3 | 理解线性筛（欧拉筛）：每个合数只被其最小质因子筛一次，达到 O(n) 求素数。 | |
| 526 | 唯一分解定理24基础数论-A2-4 | 理解算术基本定理：任一大于 1 的整数可唯一分解为若干素数幂的乘积。 | |
| 527 | 快速幂24基础数论-A2-5 | 掌握二进制快速幂，在 O(log b) 内计算 a^b（或 a^b mod m）。 | |
| 528 | 模运算24基础数论-A2-6 | 掌握模运算基本律：加、减、乘可分别在模内运算，注意减法与除法（逆元）的处理。 | |
| 529 | 模逆元基础24基础数论-A2-7 | 理解模逆元：在模 m 下，若 gcd(a,m)=1，则存在 a⁻¹ 使 a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m)；当 m 为素数可用费马小定理。 | |
| 530 | 欧拉函数24基础数论-A3-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 531 | 扩展欧几里得24基础数论-A3-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 532 | 逆元24基础数论-A3-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 533 | 组合数24基础数论-A3-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 534 | Lucas24基础数论-A3-5 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 535 | 中国剩余定理24基础数论-A3-6 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 536 | 容斥24基础数论-A3-7 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 537 | 质因数分解优化24基础数论-A3-8 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
组合数学
8 个标签 · 4 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 545 | 加法原理25-A1-1 | 理解加法原理：完成一件事有若干类互斥的方法，总方法数等于各类方法数之和。 | |
| 546 | 乘法原理25-A1-2 | 理解乘法原理：完成一件事需若干步，每步方法数相乘得总数。 | |
| 547 | 基础排列25-A1-3 | 掌握排列数：从 n 个不同元素中取 k 个排成一列的方法数 P(n,k)=n!/(n-k)!。 | |
| 548 | 基础组合25-A1-4 | 掌握组合数：从 n 个不同元素中取 k 个（不计顺序）的方法数 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，并知 C(n,k)=C(n,n-k)。 | |
| 549 | 排列25-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 550 | 组合25-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 551 | 杨辉三角25-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 552 | 组合数 DP25-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
数学优化
7 个标签 · 7 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 563 | 数学公式替代循环26-A1-1 | 学会用闭式公式替代"累加/累乘"循环，把 O(n) 计算降到 O(1)，避免超时与手误。 | |
| 564 | 等差数列26-A1-2 | 理解等差数列：相邻项差为常数 d，掌握通项与求和公式，并能在题目中识别等差结构。 | |
| 565 | 基础几何计算26-A1-3 | 掌握常见平面图形的面积/周长/体积公式（矩形、三角形、圆等），并能在程序中正确计算与取整。 | |
| 566 | 前缀公式26-A2-1 | 掌握快速幂：用二进制拆分指数，把 a^b 在 O(log b) 内算出，并支持模运算防止溢出。 | |
| 567 | 数学建模26-A2-2 | 掌握 GCD（辗转相除）与扩展欧几里得（求 ax+by=gcd(a,b) 的一组整数解），用于同余与逆元。 | |
| 568 | 函数单调性26-A2-3 | 掌握埃氏筛与欧拉筛（线性筛）求区间内素数，并用以做质因数分解，支持数论类题目。 | |
| 569 | 不等式26-A2-4 | 理解乘法逆元：在模 p（素数）下，a 的逆元满足 a·a⁻¹≡1，可用费马小定理（a^(p-2)）或 exgcd 求得，用于“除法取模”。 |
字符串算法
8 个标签 · 4 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 580 | 字符串遍历27-A1-1 | 掌握字符串遍历：逐字符处理字符串，能按位置取字符、按条件筛选与拼接。 | |
| 581 | 字符统计27-A1-2 | 掌握字符统计：统计字符串中字母、数字、各类字符的出现次数与频率。 | |
| 582 | 字符串模拟27-A1-3 | 掌握字符串模拟：把过程建模为对字符串/字符序列的逐步变换与判断。 | |
| 583 | 字符串排序27-A1-4 | 掌握字符串排序：对字符串中的字符排序，以及对一组字符串按字典序排序。 | |
| 584 | 字符串哈希基础27-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 585 | 前缀哈希27-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 586 | 子串比较27-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 587 | Trie27-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
哈希
8 个标签 · 8 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 600 | 哈希表概念28-A1-1 | 理解哈希表：通过哈希函数把键映射到桶；不同键映射到同桶即冲突，介绍链地址法与开放寻址法两种解决思路。 | |
| 601 | set28-A1-2 | 对比哈希冲突的两种解法：链地址法（桶挂链表，删除方便）与开放寻址法（线性/二次/双重探测，缓存友好但易聚集）。 | |
| 602 | map28-A1-3 | 掌握字符串滚动哈希：把字符串视作 P 进制数模大素数，配合前缀哈希可在 O(1) 比较任意子串是否相等，用于 Rabin-Karp 与字符串判重。 | |
| 603 | unordered_map28-A2-1 | 理解哈希函数的设计目标（均匀、稳定、快速）与常见方法：除留余数、乘法哈希、以及字符串/结构的组合哈希；介绍位扰动减少低位聚集。 | |
| 604 | unordered_set28-A2-2 | 掌握双哈希（用两个独立哈希函数降低冲突/碰撞）与布隆过滤器（多个哈希位构成的位数组，支持高效近似“可能存在/一定不存在”）。 | |
| 605 | 计数哈希28-A2-3 | 掌握 Rabin-Karp：对模式串与文本每个长度为 m 的窗口计算滚动哈希，哈希相等再逐字符确认，从而在平均 O(n) 完成多模式/子串匹配。 | |
| 606 | 去重28-A2-4 | 理解一致性哈希：把节点与键都哈希到同一个圆环上，键沿顺时针找最近节点；引入虚拟节点使负载均衡，常用于分布式缓存扩容。 | |
| 607 | 哈希映射28-A2-5 | 综合运用哈希：在查重、计数、缓存、字符串判等、集合判同等场景中正确选择哈希结构，并理解其时间/空间权衡与碰撞应对。 |
倍增
3 个标签 · 0 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 618 | 倍增思想29-A1-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 619 | 快速幂29-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 620 | 二进制跳跃29-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
区间与离线算法
7 个标签 · 3 已就绪| 序号 | 知识点 | 能力目标 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 628 | 区间概念30-A1-1 | 掌握一维/二维前缀和（O(1) 求区间和）与差分（O(1) 区间加），理解“前缀预处理 + 相减”与“差分数组还原”的互逆技巧。 | |
| 629 | 区间求和30-A1-2 | 理解离线思想：先把所有询问/事件收集，按某种顺序（如坐标、时间）统一处理，常比逐个在线处理更高效。以扫描线求矩形并面积、区间计数引入。 | |
| 630 | 区间最值30-A1-3 | 综合区间类问题：区分“多查询少更新”（前缀和）、“多更新少查询”（差分）、“在线动态”（树状数组/线段树），并能离线处理复杂区间统计。 | |
| 631 | 前缀和30-A2-1 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 632 | 差分30-A2-2 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 633 | 离线排序30-A2-3 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |
| 634 | 离线查询30-A2-4 | 课程框架已就绪，教案待补充。 | 编写中 |