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GESP 5级

CURRICULUM

课程大纲 · 能力地图

按「大类 → 难度 → 前后顺序」组织，共 153 个能力标签。其中 66 个为相对「GESP 4级」新增，其余为前置级别已覆盖；同一大类内循序渐进，绿色为已备教案、可直接进入学习；灰色为编写中。

新增标记表示该知识点是「GESP 4级」基础上本级别新加入的，需重点学习。

仅展示相对「GESP 4级」新增的内容 (66)关闭可查看完整大纲（含前置级别已覆盖的知识点）

复杂度与算法分析

10 个标签 · 10 已就绪

序号	知识点	能力目标
48	O(log n)新增02-A2-1	理解 O(log n) 时间复杂度：每次操作把问题规模减半（如二分查找），所需步数约为 log₂n，增长极慢。
49	O(n log n)新增02-A2-2	理解 O(n log n)：线性乘对数，是归并、快排这类基于比较的排序能达到的最优复杂度。
50	O(n²)新增02-A2-3	理解 O(n²)：双重循环的典型复杂度，常见于朴素排序与朴素枚举，适合 n 较小的场景。
51	多项式复杂度新增02-A2-4	理解多项式复杂度 O(n^k)：运行时间是关于 n 的多项式，次数 k 越低越快。
52	指数复杂度新增02-A2-5	理解指数复杂度 O(2^n) 与 O(c^n)：随 n 爆炸增长，常见于暴力枚举/回溯，需要剪枝或换算法。
53	空间复杂度新增02-A2-6	区分时间复杂度与空间复杂度：空间复杂度衡量算法额外占用的内存随 n 的增长。
54	最坏情况新增02-A2-7	理解最坏情况复杂度：输入最不利时算法需要的资源上界，是可靠性的保证。
55	最好情况新增02-A2-8	理解最好情况复杂度：最有利输入下的资源消耗下界，常用于"已接近目标"的快速路径。
56	平均情况新增02-A2-9	理解平均情况复杂度：对所有可能输入取期望，比最坏更贴近"典型"表现。
57	嵌套循环复杂度新增02-A2-10	掌握分析嵌套循环复杂度：内外层循环次数相乘，注意"与 n 无关"的内层与"随外层变化"的内层。

数组与基础预处理

8 个标签 · 8 已就绪

序号	知识点	能力目标
106	前缀和新增04-A2-1	掌握一维前缀和：预处理 s[i]=a[0..i-1] 的和，使任意区间和 O(1) 查询。
107	二维前缀和新增04-A2-2	掌握二维前缀和：预处理后任意子矩阵和 O(1) 查询，使用容斥公式。
108	差分新增04-A2-3	掌握一维差分：对区间加减的多次操作后，用 O(1) 标记、最后 O(n) 还原，避免每次 O(n) 修改。
109	二维差分新增04-A2-4	掌握二维差分：对子矩阵整体加减，用 O(1) 标记、最后 O(nm) 还原。
110	前缀最值新增04-A2-5	掌握前缀最值：预处理前缀的最大值/最小值，支持 O(1) 查询"从开头到某位置"的极值。
111	后缀最值新增04-A2-6	掌握后缀最值：从某位置到结尾的极值，常与前缀最值配合解决"两侧约束"问题。
112	前后缀统计新增04-A2-7	综合运用前缀与后缀预处理，解决"左侧/右侧满足条件的个数或极值"类问题。
113	离线预处理新增04-A2-8	理解离线思想：先把所有询问收集起来，按某种顺序统一处理（常配合排序或前缀结构），降低总复杂度。

排序

7 个标签 · 7 已就绪

序号	知识点	能力目标
129	快速排序新增05-A2-1	掌握快速排序：选轴(pivot)分区，使左边≤轴、右边≥轴，再递归处理左右。
130	归并排序新增05-A2-2	掌握归并排序：分治地把两半分别排好，再合并两个有序序列，稳定且稳定 O(n log n)。
131	sort新增05-A2-3	掌握语言内置排序（Python sorted / C++ sort）的用法与复杂度，能直接对数组排序。
132	自定义比较新增05-A2-4	掌握自定义比较函数/键，按"自己定义的规则"排序（如按绝对值、按字符串长度）。
133	多关键字排序新增05-A2-5	掌握多关键字排序：先按主关键字，相同再按次关键字（用元组 key 或稳定排序组合）。
134	结构体排序新增05-A2-6	掌握对"结构体/对象数组"按某个字段排序（如学生按成绩）。
135	稳定排序应用新增05-A2-7	掌握"稳定排序"的实际应用：保留并列数据的原有顺序，或实现多关键字排序。

查找与二分

7 个标签 · 7 已就绪

序号	知识点	能力目标
149	lower_bound新增06-A2-1	掌握 lower_bound：在有序数组中找"第一个 ≥ x"的位置（C++ lower_bound / 手写二分）。
150	upper_bound新增06-A2-2	掌握 upper_bound：找"第一个 > x"的位置，与 lower_bound 配合统计某值的个数。
151	二分边界新增06-A2-3	掌握二分求"边界"：第一个满足 / 最后一个满足某条件的位置（答案落在有序判定函数上）。
152	二分最大值新增06-A2-4	掌握"二分答案求最大"：当答案越大越难满足时，二分找满足条件的最大值。
153	二分最小值新增06-A2-5	掌握"二分答案求最小"：当答案越小越难满足时，二分找满足条件的最小值。
154	二分答案新增06-A2-6	综合理解"二分答案"：把最优化问题转为"判定 mid 是否可行"的二分搜索。
155	单调性新增06-A2-7	理解单调性是二分的前提：只有"判定结果随 mid 单调变化"才能用二分。

递归、分治

5 个标签 · 5 已就绪

序号	知识点	能力目标
190	分治思想新增08-A2-1	掌握分治：把问题分成独立子问题，各自解决后合并结果（与单纯的递归区别在于"合"）。
191	归并排序新增08-A2-2	用"分治"视角重写并理解归并排序的分解与合并过程。
192	快速排序新增08-A2-3	用分治视角理解快排：选轴分区使问题独立，再递归处理左右子区间。
193	二分递归新增08-A2-4	掌握二分递归：在递归中把规模对半（而非减一），复杂度降为 O(log n) 或 O(n log n)。
194	递归搜索新增08-A2-5	掌握用递归进行搜索/枚举（如 DFS 遍历、子集/排列生成），理解搜索树与回溯。

贪心

4 个标签 · 4 已就绪

序号	知识点	能力目标
205	贪心思想新增09-A1-1	理解贪心：每一步都做"当前看起来最优"的选择，期望得到全局最优。
206	局部最优新增09-A1-2	理解"局部最优"与"全局最优"的关系，学会判断一个问题能否贪心。
207	简单贪心新增09-A1-3	通过经典简单贪心题（区间选点、拼接等）巩固贪心套路。
208	直接选择新增09-A1-4	掌握"直接选择"型贪心：每步直接挑当前最优元素（如选择排序、选最大可用）。

数据结构

5 个标签 · 5 已就绪

序号	知识点	能力目标
263	数组新增11线性结构-A1-1	掌握数组：连续存储、随机访问 O(1)、按下标读写，是其他数据结构的基础。
264	vector新增11线性结构-A1-2	掌握 C++ vector（动态数组）：自动扩容、尾部增删 O(1)、随机访问，是可变长数组。
265	stack新增11线性结构-A1-3	掌握栈：后进先出（LIFO），支持压栈/弹栈/取顶，常用于括号匹配、DFS。
266	queue新增11线性结构-A1-4	掌握队列：先进先出（FIFO），支持入队/出队/看队首，常用于 BFS、缓冲。
267	deque新增11线性结构-A1-5	掌握双端队列 deque：两端都能 O(1) 增删，兼具栈与队列功能，常用于滑动窗口。

链表

4 个标签 · 4 已就绪

序号	知识点	能力目标
283	单链表新增12-A1-1	掌握单链表：节点含值域与 next 指针，只能单向遍历，插入/删除只需改指针 O(1)（已知前驱）。
284	双链表新增12-A1-2	掌握双链表：节点含 prev 与 next，可双向遍历，删除/插在前驱或后继都方便。
285	循环链表新增12-A1-3	理解循环链表：尾节点 next 指向头，形成环，适合"轮转/环形"场景。
286	链表遍历新增12-A1-4	掌握链表遍历与常见处理：从头指针沿 next 走到尾，期间可计数、查找、反转等。

位运算 / 状态压缩

5 个标签 · 5 已就绪

序号	知识点	能力目标
503	位掩码新增23-A2-1	理解位掩码：用一个整数的二进制位表示一组布尔状态，第 i 位为 1 表示第 i 个选项被选中。
504	集合表示新增23-A2-2	用整数表示一个有限集合（元素为 0..N-1），元素 i 在集合中当且仅当第 i 位为 1。
505	子集判断新增23-A2-3	掌握用位运算判断一个集合是否为另一个集合的子集/超集，以及如何枚举子集。
506	lowbit新增23-A2-4	掌握 lowbit：取出整数二进制最低位的 1 及其后的 0 所构成的值，公式为 x & (-x)。
507	popcount新增23-A2-5	掌握 popcount（统计整数二进制中 1 的个数），以及位运算统计技巧。

数学与数论

7 个标签 · 7 已就绪

序号	知识点	能力目标
523	欧几里得算法新增24基础数论-A2-1	掌握欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数 gcd：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
524	埃氏筛新增24基础数论-A2-2	掌握埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）在 O(n log log n) 内求出 [2,n] 内的所有素数。
525	线性筛新增24基础数论-A2-3	理解线性筛（欧拉筛）：每个合数只被其最小质因子筛一次，达到 O(n) 求素数。
526	唯一分解定理新增24基础数论-A2-4	理解算术基本定理：任一大于 1 的整数可唯一分解为若干素数幂的乘积。
527	快速幂新增24基础数论-A2-5	掌握二进制快速幂，在 O(log b) 内计算 a^b（或 a^b mod m）。
528	模运算新增24基础数论-A2-6	掌握模运算基本律：加、减、乘可分别在模内运算，注意减法与除法（逆元）的处理。
529	模逆元基础新增24基础数论-A2-7	理解模逆元：在模 m 下，若 gcd(a,m)=1，则存在 a⁻¹ 使 a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m)；当 m 为素数可用费马小定理。

组合数学

4 个标签 · 4 已就绪

序号	知识点	能力目标
545	加法原理新增25-A1-1	理解加法原理：完成一件事有若干类互斥的方法，总方法数等于各类方法数之和。
546	乘法原理新增25-A1-2	理解乘法原理：完成一件事需若干步，每步方法数相乘得总数。
547	基础排列新增25-A1-3	掌握排列数：从 n 个不同元素中取 k 个排成一列的方法数 P(n,k)=n!/(n-k)!。
548	基础组合新增25-A1-4	掌握组合数：从 n 个不同元素中取 k 个（不计顺序）的方法数 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，并知 C(n,k)=C(n,n-k)。