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USACO Gold

CURRICULUM

课程大纲 · 能力地图

按「大类 → 难度 → 前后顺序」组织，共 441 个能力标签。 其中 226 个为相对「USACO Silver」新增，其余为前置级别已覆盖； 同一大类内循序渐进，绿色为已备教案、可直接进入学习；灰色为编写中。

新增 标记表示该知识点是「USACO Silver」基础上本级别新加入的，需重点学习。

仅展示相对「USACO Silver」新增的内容 (226)关闭可查看完整大纲（含前置级别已覆盖的知识点）

程序设计基础

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
32指针基础新增01-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
33函数指针基础新增01-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
34递归建模新增01-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
35模块化程序设计新增01-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
36程序状态管理新增01-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
37复杂代码调试新增01-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

复杂度与算法分析

8 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
58递归复杂度新增02-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
59分治复杂度新增02-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
60搜索复杂度新增02-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
61DP复杂度新增02-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
62图算法复杂度新增02-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
63摊销复杂度新增02-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
64时间/空间权衡新增02-A3-7课程框架已就绪，教案待补充。编写中
65根据数据范围反推算法新增02-A3-8课程框架已就绪，教案待补充。编写中

数组与基础预处理

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
114前缀和 + 二分新增04-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
115前缀和 + 双指针新增04-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
116前缀和 + 哈希新增04-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
117差分 + 贪心新增04-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
118差分 + 扫描新增04-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
119前缀最值优化新增04-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

排序

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
136排序 + 贪心新增05-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
137排序 + 双指针新增05-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
138排序 + 二分新增05-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
139排序 + 扫描新增05-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
140排序 + 数据结构新增05-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
141逆序对新增05-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

查找与二分

8 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
156答案二分新增06-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
157二分 + 贪心新增06-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
158二分 + 前缀和新增06-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
159二分 + 双指针新增06-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
160二分 + DP新增06-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
161二分 + 图论新增06-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
162最大化最小值新增06-A3-7课程框架已就绪，教案待补充。编写中
163最小化最大值新增06-A3-8课程框架已就绪，教案待补充。编写中

双指针与滑动窗口

5 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
178双指针 + 排序新增07-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
179双指针 + 哈希新增07-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
180双指针 + 前缀和新增07-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
181多指针新增07-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
182单调性双指针新增07-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中

递归、分治

5 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
195分治 + 二分新增08-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
196分治 + DP新增08-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
197分治 + 数据结构新增08-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
198逆序对新增08-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
199CDQ 分治基础新增08-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中

贪心

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
215贪心正确性证明新增09-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
216反悔贪心新增09-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
217贪心 + 二分新增09-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
218贪心 + 堆新增09-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
219贪心 + 差分新增09-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
220贪心 + 图新增09-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

搜索

10 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
237DFS 剪枝新增10DFS-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
238搜索顺序优化新增10DFS-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
239记忆化搜索新增10DFS-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
240状态压缩搜索新增10DFS-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
241DFS + DP新增10DFS-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
242DFS + 贪心新增10DFS-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
2560-1 BFS新增10BFS-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
257BFS + 位状态新增10BFS-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
258BFS + 双端队列新增10BFS-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
259BFS + 最短路新增10BFS-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

数据结构

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
273自定义比较器新增11线性结构-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
274有序集合新增11线性结构-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
275多重集合新增11线性结构-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
276哈希结构新增11线性结构-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
277哈希冲突思想新增11线性结构-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
278数据结构组合新增11线性结构-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

链表

8 个标签 · 8 已就绪
序号知识点能力目标操作
283单链表新增12-A1-1掌握单链表：节点含值域与 next 指针，只能单向遍历，插入/删除只需改指针 O(1)（已知前驱）。
284双链表新增12-A1-2掌握双链表：节点含 prev 与 next，可双向遍历，删除/插在前驱或后继都方便。
285循环链表新增12-A1-3理解循环链表：尾节点 next 指向头，形成环，适合"轮转/环形"场景。
286链表遍历新增12-A1-4掌握链表遍历与常见处理：从头指针沿 next 走到尾，期间可计数、查找、反转等。
287插入删除新增12-A2-1掌握单链表在指定位置/按值插入与删除节点的指针操作：插入要“先连后断”防止断链，删除要记得释放/跳过。
288链表反转新增12-A2-2掌握单链表反转的迭代与递归两种写法：迭代用三指针（prev/cur/next）逐个翻转指向，递归从尾部回溯翻转。
289快慢指针新增12-A2-3掌握快慢指针（龟兔赛跑）：快指针走两步、慢指针走一步，可判环、求中点、找倒数第 k 个节点。
290链表合并新增12-A2-4掌握合并两个升序链表：用 dummy 哨兵节点，比较两链表头节点值，小的接上并后移，最后接剩余。

并查集

11 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
296并查集概念新增13-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
297Find新增13-A1-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
298Union新增13-A1-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
299路径压缩新增13-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
300按秩合并新增13-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
301按大小合并新增13-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
302连通块新增13-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
303并查集 + Kruskal新增13-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
304并查集 + 离线新增13-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
305并查集维护信息新增13-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
306带权并查集新增13-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

树

24 个标签 · 15 已就绪
序号知识点能力目标操作
311树的定义新增14基础树-A1-1理解树的定义与基本术语：根、父/子、叶子、度、深度、高度，以及二叉树与多叉树的区别。
312根新增14基础树-A1-2掌握二叉树的重要性质：第 i 层最多 2^(i-1) 个节点，深度为 h 的二叉树最多 2^h-1 个节点，叶子与度为 2 节点数关系。
313父节点新增14基础树-A1-3区分满二叉树（每层全满）与完全二叉树（层序填满、最后一层从左连续），并理解完全二叉树用数组存储的优势。
314子节点新增14基础树-A1-4掌握二叉树的顺序存储（数组按下标表示左右孩子），理解其适合完全二叉树、对一般树有空洞浪费。
315叶节点新增14基础树-A1-5掌握二叉树的链式存储：用节点结构（val, left, right）动态建树，理解它与顺序存储的取舍。
316深度新增14基础树-A1-6掌握三种深度遍历的递归写法：先序（根左右）、中序（左根右）、后序（左右根），理解访问根的顺序差异。
317高度新增14基础树-A1-7掌握用“先序定根 + 中序定左右”递归重建二叉树的方法，并理解其唯一性条件。
318二叉树新增14基础树-A2-1掌握二叉树的层序遍历：用队列按层扩展，输出逐层节点，可顺便记录每层或判断完全性。
319二叉树遍历新增14基础树-A2-2掌握用栈模拟递归实现先/中/后序遍历，理解递归隐式栈的显式化，避免深递归溢出。
320前序新增14基础树-A2-3理解二叉搜索树（BST）：左子树均小于根、右子树均大于根；掌握递归/迭代查找，复杂度与树高相关。
321中序新增14基础树-A2-4掌握 BST 插入：沿查找路径下行，遇空位插入新节点，保持 BST 性质。
322后序新增14基础树-A2-5掌握 BST 删除的三种情况：删叶子直接去、删单孩子接上、删双孩子用“前驱/后继”替换后递归删除。
323层序新增14基础树-A2-6掌握哈夫曼树：每次合并权值最小的两节点构造带权路径长度最小的二叉树，并生成前缀编码。
324完全二叉树新增14基础树-A2-7理解表达式树：把算式建成二叉树（叶子为操作数、内部为运算符），通过后序/中序遍历求值与还原。
325二叉搜索树新增14基础树-A2-8综合运用遍历：求树高、节点数、直径，以及“由中序+后序重建”，巩固遍历在树问题中的核心地位。
326树 DFS新增14基础树-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
327子树新增14基础树-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
328树的直径新增14基础树-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
329树上路径新增14基础树-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
330树上前缀新增14基础树-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
331DFS 序新增14基础树-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
332Euler Tour新增14基础树-A3-7课程框架已就绪，教案待补充。编写中
333倍增新增14基础树-A3-8课程框架已就绪，教案待补充。编写中
334LCA新增14基础树-A3-9课程框架已就绪，教案待补充。编写中

堆与优先队列

12 个标签 · 8 已就绪
序号知识点能力目标操作
344堆概念新增15-A1-1理解堆：一种完全二叉树，且父节点“不小于/不大于”孩子（大根/小根），根即最值，支持 O(log n) 取最值。
345最大堆新增15-A1-2区分大根堆（取最大）与小根堆（取最小），并理解在 STL/Python 中如何用优先队列实现两者。
346最小堆新增15-A1-3掌握堆的核心操作：插入时“上浮”（与父比较交换），删除堆顶时“下沉”（与较小/较大孩子比较交换），均 O(log n)。
347priority_queue新增15-A1-4掌握堆排序（原地建堆后反复取堆顶放末尾，O(n log n)）及优先队列在 TopK、中位数、Dijkstra 等场景的应用。
348堆排序思想新增15-A2-1掌握二叉堆（优先队列）：Python 用 heapq（默认最小堆），C++ 用 priority_queue；理解 push/pop/top 与“取最小/最大”的语义。
349Top K新增15-A2-2理解堆排序：先建堆（heapify），再反复取堆顶与末尾交换并下沉，得到升序序列；理解原地排序与 O(n log n)。
350动态最大/最小值新增15-A2-3用堆在 O(n log k) 求第 k 大/小元素：维护一个大小为 k 的堆，或基于快速选择；理解堆法比全排序更省。
351贪心 + 堆新增15-A2-4掌握用堆合并多个有序序列（如 K 个有序链表、数据流 TopK 汇总），理解“每个序列一个指针 + 最小堆选最小”的模式。
352双堆新增15-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
353堆 + 贪心新增15-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
354堆 + 图新增15-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
355堆 + Dijkstra新增15-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

单调结构

10 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
360单调栈思想新增16-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
361单调队列思想新增16-A1-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
362下一个更大元素新增16-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
363下一个更小元素新增16-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
364滑动窗口最值新增16-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
365单调队列优化新增16-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
366单调栈 + DP新增16-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
367单调栈 + 贪心新增16-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
368单调队列 + DP新增16-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
369单调队列 + 二分新增16-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

树状数组 / 线段树 / 区间数据结构

13 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
373区间查询思想新增17-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
374前缀维护新增17-A1-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
375树状数组新增17-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
376单点修改新增17-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
377前缀查询新增17-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
378区间求和新增17-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
379线段树新增17-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
380区间查询新增17-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
381单点修改新增17-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
382区间修改新增17-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
383Lazy Tag新增17-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
384区间最值新增17-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
385区间和新增17-A3-7课程框架已就绪，教案待补充。编写中

图论

6 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
409拓扑排序新增18图基础-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
410DAG新增18图基础-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
411DAG DP新增18图基础-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
412二分图新增18图基础-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
413二分图染色新增18图基础-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
414二分图匹配新增18图基础-A3-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中

最短路

8 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
423Dijkstra新增19-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
424Floyd新增19-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
425Bellman-Ford新增19-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
4260-1 BFS新增19-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
427多源最短路新增19-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
428最短路 + 状态新增19-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
429最短路 + 堆新增19-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
430最短路 + DP新增19-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中

最小生成树

4 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
436MST 概念新增20-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
437Kruskal新增20-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
438Prim新增20-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
439并查集 + MST新增20-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中

动态规划

12 个标签 · 12 已就绪
序号知识点能力目标操作
47201背包新增22DP基础-A3-1掌握两类经典线性 DP：最长递增子序列（LIS，O(n log n)）与最长公共子序列（LCS，O(nm)），理解状态定义与转移。
473完全背包新增22DP基础-A3-2掌握多重背包的两种优化：二进制拆分将数量拆成 2 的幂转化为 0/1 背包；单调队列优化做到 O(nV)。
474多重背包新增22DP基础-A3-3掌握在树上做 DP：选/不选类（最大独立集）、树上背包（子树合并），用 DFS 后序在子树状态上转移。
475分组背包新增22DP基础-A3-4掌握区间 DP：状态 dp[l][r] 表示子区间 [l,r] 的最优值，长度从小到大枚举，由短区间合并成长区间。
476LIS新增22DP基础-A3-5掌握状压 DP：当状态维度小（如 n≤12）时，用二进制整数表示每一行/列的状态，逐行转移并保证行间约束合法。
477LCS新增22DP基础-A3-6掌握数位 DP：统计满足数位约束（如不含 4、数字和、特定子串）的整数个数，按位从高到低记忆化搜索，用 up 限制上界。
478区间 DP新增22DP基础-A3-7掌握概率/期望 DP：以状态为随机变量，用 E = Σ p·v 或全期望公式递推期望；注意循环转移时的移项求解。
479状态压缩 DP新增22DP基础-A3-8掌握用状压 DP 解旅行商 TSP：dp[mask][i] 表示已访问集合 mask 且当前在城市 i 的最小代价，枚举下一未访问城市转移。
480树形 DP新增22DP基础-A3-9掌握用单调队列优化形如 dp[i]=min_{j}(dp[j]+f(i,j)) 的 DP：当 f 可拆成只关于 i 与只关于 j 的部分时，用滑动窗口维护最优 j。
481DAG DP新增22DP基础-A3-10掌握博弈类 DP/递推：用 win[i] 表示面对局面 i 是否必胜（存在一步到必败态即可胜），常用于 Nim 及组合游戏规则分析。
482计数 DP新增22DP基础-A3-11掌握字符串类 DP：编辑距离（插入/删除/替换的最小操作数）与最长回文子序列，理解二维 DP 在字符串上的转移。
483概率 DP新增22DP基础-A3-12掌握 DP 的通用建模思路：明确状态、转移、边界与答案位置；并能把复杂问题拆成上述经典 DP 的组合或变形。

位运算 / 状态压缩

5 个标签 · 0 已就绪
序号知识点能力目标操作
508状态压缩新增23-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
509位 DP新增23-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
510子集枚举新增23-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
511位运算优化新增23-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
512Bitset新增23-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中

数学与数论

7 个标签 · 7 已就绪
序号知识点能力目标操作
523欧几里得算法新增24基础数论-A2-1掌握欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数 gcd：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
524埃氏筛新增24基础数论-A2-2掌握埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）在 O(n log log n) 内求出 [2,n] 内的所有素数。
525线性筛新增24基础数论-A2-3理解线性筛（欧拉筛）：每个合数只被其最小质因子筛一次，达到 O(n) 求素数。
526唯一分解定理新增24基础数论-A2-4理解算术基本定理：任一大于 1 的整数可唯一分解为若干素数幂的乘积。
527快速幂新增24基础数论-A2-5掌握二进制快速幂，在 O(log b) 内计算 a^b（或 a^b mod m）。
528模运算新增24基础数论-A2-6掌握模运算基本律：加、减、乘可分别在模内运算，注意减法与除法（逆元）的处理。
529模逆元基础新增24基础数论-A2-7理解模逆元：在模 m 下，若 gcd(a,m)=1，则存在 a⁻¹ 使 a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m)；当 m 为素数可用费马小定理。

组合数学

8 个标签 · 4 已就绪
序号知识点能力目标操作
545加法原理新增25-A1-1理解加法原理：完成一件事有若干类互斥的方法，总方法数等于各类方法数之和。
546乘法原理新增25-A1-2理解乘法原理：完成一件事需若干步，每步方法数相乘得总数。
547基础排列新增25-A1-3掌握排列数：从 n 个不同元素中取 k 个排成一列的方法数 P(n,k)=n!/(n-k)!。
548基础组合新增25-A1-4掌握组合数：从 n 个不同元素中取 k 个（不计顺序）的方法数 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，并知 C(n,k)=C(n,n-k)。
549排列新增25-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
550组合新增25-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
551杨辉三角新增25-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
552组合数 DP新增25-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

数学优化

7 个标签 · 7 已就绪
序号知识点能力目标操作
563数学公式替代循环新增26-A1-1学会用闭式公式替代"累加/累乘"循环，把 O(n) 计算降到 O(1)，避免超时与手误。
564等差数列新增26-A1-2理解等差数列：相邻项差为常数 d，掌握通项与求和公式，并能在题目中识别等差结构。
565基础几何计算新增26-A1-3掌握常见平面图形的面积/周长/体积公式（矩形、三角形、圆等），并能在程序中正确计算与取整。
566前缀公式新增26-A2-1掌握快速幂：用二进制拆分指数，把 a^b 在 O(log b) 内算出，并支持模运算防止溢出。
567数学建模新增26-A2-2掌握 GCD（辗转相除）与扩展欧几里得（求 ax+by=gcd(a,b) 的一组整数解），用于同余与逆元。
568函数单调性新增26-A2-3掌握埃氏筛与欧拉筛（线性筛）求区间内素数，并用以做质因数分解，支持数论类题目。
569不等式新增26-A2-4理解乘法逆元：在模 p（素数）下，a 的逆元满足 a·a⁻¹≡1，可用费马小定理（a^(p-2)）或 exgcd 求得，用于“除法取模”。

字符串算法

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序号知识点能力目标操作
584字符串哈希基础新增27-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
585前缀哈希新增27-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
586子串比较新增27-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
587Trie新增27-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

哈希

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序号知识点能力目标操作
608字符串哈希新增28-A3-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
609双哈希新增28-A3-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
610哈希 + 二分新增28-A3-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
611哈希 + 滑动窗口新增28-A3-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
612哈希 + DP新增28-A3-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中

倍增

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序号知识点能力目标操作
618倍增思想新增29-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
619快速幂新增29-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
620二进制跳跃新增29-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中

区间与离线算法

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序号知识点能力目标操作
628区间概念新增30-A1-1掌握一维/二维前缀和（O(1) 求区间和）与差分（O(1) 区间加），理解“前缀预处理 + 相减”与“差分数组还原”的互逆技巧。
629区间求和新增30-A1-2理解离线思想：先把所有询问/事件收集，按某种顺序（如坐标、时间）统一处理，常比逐个在线处理更高效。以扫描线求矩形并面积、区间计数引入。
630区间最值新增30-A1-3综合区间类问题：区分“多查询少更新”（前缀和）、“多更新少查询”（差分）、“在线动态”（树状数组/线段树），并能离线处理复杂区间统计。
631前缀和新增30-A2-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
632差分新增30-A2-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
633离线排序新增30-A2-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
634离线查询新增30-A2-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中

计算几何

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序号知识点能力目标操作
644坐标新增31-A1-1课程框架已就绪，教案待补充。编写中
645距离新增31-A1-2课程框架已就绪，教案待补充。编写中
646矩形新增31-A1-3课程框架已就绪，教案待补充。编写中
647三角形新增31-A1-4课程框架已就绪，教案待补充。编写中
648圆新增31-A1-5课程框架已就绪，教案待补充。编写中
649面积新增31-A1-6课程框架已就绪，教案待补充。编写中
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